海か空か……なんか青いものが見たくなった

　今日は本当に本題から無関係な理論で息抜きしていた。
　過去に面倒で後回しにしていた、t-structureのcoreがAbelian categoryになる証明の残り。finite product coproductで閉じているのは考えてみれば簡単だった。問題は準同型定理（もどき）である。この同型は作ったのだがそれが指定されているmorphismであるかの確証はやっぱ面倒で追いきれなかった。まぁ、大体存在の一意性からなるんだろうとは思う。
　そしてHoveyの本など見返して、唯一飛ばしていたModel categoryの例、Frobenius ring上のModuleについてざっと呼んでみた。なるほど。stable moduleというのが以前のシンポジウムでの話しに似ている。

　「いや、そんな事してる場合じゃねぇだろ」という突っ込みは自分で入れる以外ない。

ここまでは誰でも来れるんだ。問題はここからだ。

　このごろ一日２食でも生きていけるんじゃない勝手ぐらい、お腹がすかないんですけど。秋なのに。

　Andre Quillen homologyの定義までの流れをざっと書き表した。証明しなければならない命題が山ほどあるが、もうモロに代数なので後回しにしよう。とりあえず、定義の意味とwell definedを理解するのだけで今日一日を費やしてしまった。結局simplicial moduleに持ち込んでhomotopy群を取るわけね。
　でもこれを話してもきっと師匠は満足しない。というか自分自身もこの有用性まで把握できていない。Iyengerの論文なんかを見ると、どうやらNeother ringのhomomorphismがregularだったり、smoothだったり、果てはetaleだったりの判断に使えるらしいのだが、まったくもってそのあたりの代数のお話は詳しくないわけよ。

安倍が去ったか……これからは群雄割拠の時代になるな……

　安倍よりもプロ野球の結果が気になってしょうがない。今日は３強が揃い踏みで負けたか。

　Derivationが熱い。いや、それはない。とりあえず、R-Algebra上のmoduleをどうやってR-moduleと見なせばよいのか考えをめぐらせていた。まぁ、思いついたがこれで良いのかは疑問。
　とりあえず、Der_{R}(X;M)の定義はわかった。map of R-moduleでLeibniz ruleを満たすと。しかもこれはHom_{R}(X;M)のsub moduleになっている。このDer_{R}(X;M)を表現するmoduleがかなり重要みたい。
ってか今日ははかどらなかったな。

ここらのページは危険すぎる

　今日は、というかこのごろ毎日なのだが、眠気の抜けない一日だった。もう秋だべ。というか、夕飯時ぐらいから草刈始めるのやめろよ、お隣。鈴虫の音色を聞きながら本を読むのもまた一興。でも鈴虫なんていないけどね。

　Andre Quilenn homologyがAbelianizationのderived functorという意味が、R-Algebraに関しても適応される意味がなんとなくわかった。オリジナルのQuillenの論文は1967年だから、まだmodel categoryの概念が固まりきっていなかったため、cofibrationやweak equivalence、それからcofibrant replacementに対応するprojective resolusionなどの言葉はあれどmodel categoryの枠組みで説明してくれてないところがわかりずらい。
　結局Derivationという、DGAのようなもので微分に対しLeibniz ruleを満たすものを考えるらしい。これがライプニッツと読めずまた無駄な時間を過ごしてしまった。
　一つ驚いたのが、AをR-Algebraをしたとき、A上のR-Algebraのcategoryのabelian objectはA-moduleらしい。これはsimplicialに拡張しても同じことが言える。ということは、sMod_{A} → sAlg_{R}/Aというforgetful functorのleft adjointのderived functor、LAb : Ho(sAlg_{R}/A) → Ho(sMod_{R})=D(Mod_{R})がAndre Quillen homology……では無いみたい。これにtensorを施したものをさらにπ_*で、というかnomarizationとhomology functorでR-moduleにしたのがそうらしい。うん、これだけ話してもきっと面白みは無いね。

どだい無理な話だったのさ

まぁ、予想していたとおり、私が考えたQuillen homologyとtriangulated homologyの関係は誤りだったようで、師匠は的確に否定してくれた。散々考えたことを一蹴されると悲しいが、そのまま正しいと思い込んでいる方がむしろ危険なのでやはりありがたい。師匠が素晴らしいのはそのあと、何かしらアドバイスをくれる事。抽象論は良いから、具体例をやれと、ありがたいお言葉。可換環のhomologyをやってみろと、さらに提言。ありがたくて涙が出ます。
　っていうか無理。これは前から文献で見かけた事はあったけれど何が書いてあるのかさっぱり。AndreとQuillenが考案したらしいが、それをmodel categoryにまで一般化したのがGoerssとSchemerhorn。一般化というのは多分、可換環を可換環からSimplicial setへのfunctor catgeoryへ埋め込んだときに、simplicial setのmodel structureを利用してfunctor categoryにもmodel structureが定義できる。そこで考えると一致しているという事だろうけど。