っていうかこれ組み合わせ論じゃん

　今やってる事を要約するとそんな感じ。組み合わせ論というと、代数においてなんとなく理解できるけど、実際のところ深くてむずい分野。違うんだよ。俺はこういうことをやりたいんじゃないんだよ。

その技、見切ったり

　homotopy unitに関するassociahedraの条件を次元4ぐらいまで書き出して法則性を探っていたのだが、ようやく見えてきた。どうやら当初2種類の場合わけですむかと思われていたのだが、3つ目の場合を考えざるを得なくなった。これはどうしてだろう。
　ともあれ、定義はこれでいいとして具体的な例はやはりLoop spaceだろう。多分いい気がするんだけど、実際示せといわれたらどうするのか？まず、Loop spaceのassociahedraはparameterのhomotopyだけど高次元になるにつれどうすればよいのかわからなくなってきた。

そこは苦悩の先にある楽園のような場所だ

　Associahedra、Multiplihedraを表記するのにはtree(operad)として表記するのが、しっくり来る事には気づいた。そのoperad構造が、空間して実現したときのfaceやdegeneracyになるかどうかは疑問ではあるが。
　一つはtreeを用いてA-infty spaceの分類空間を安易に表記できないだろうか。無論functorialな構成という意味で。
　さらにはhomotopy unitを持つときのAssociahedra、Multiplihedraはどのように表記すべきだろうか。あるいはそれもtreeとして簡単に話ができるのだろうか。

へドロンがいっぱい現れた！

　彼らの一人に会ったのはもう、半年ほど前だと思う。清流のせせらぎと蝉時雨が交じり合う、夏の暑い午後だった。彼の名はオクタヘドロン（octahedron）。triangulated categoryの公理における最後の障壁として私の前に立ちふさがり、とても苦しめられた。ただ今になって振り返ると、彼は至極純粋な奴だった。morphismを誘導する際、彼の助力を得なければどうしようもない状況が多々あった。結局彼とはうまく付き合い今日に至っている。
　そして先日会ったのが、アソシアヘドロン（associahedron）とマルティプリヘドロン（multiplihedron）の兄弟である。聞くところによるともう一人パーミュタヘドロン（permutahedron）という兄弟がいるらしいが、私はまだあったことが無い。彼らは表面的には素直そうな一面を覗かせながらも、内面は非常に複雑なものを抱えていた。とりわけ兄のmultiplihedronは弟に輪をかけて複雑だった。
　彼らは多面体として実現できる、というよりoperadとして記述できるらしいのだがそこが理解に苦しむところだった。しかし、tree operadとして考えると非常に簡単に彼らの性格をつかむ事ができそうだ。彼らの根本にあるものを理解できれば、きっと新しい道が切り開かれるであろうと私は信じている。

お絵かきタイム

　associahedronにhomotopy unitを付加したものを考えるべく、多面体をお絵かき。通常associahedraといったら、unitに関する情報は入れない、というか定義自体、unitのないsemi-groupなんかで定義する事もある。unitを考えてmonoidとして扱う場合、An-spaceの最後の条件、degeneracyに関するものがunitを扱う。homotopy unitの場合は、ここをhomotopicに置き換えるべきであろう。でも、そこからassociahedraの拡張的な多面体を考えることができるような気がする。4次ぐらいまでは絵に書けるのだが、その先というか、数式で記述ができない。イメージ的にはi番目とi-1番目のdouble mapping cylinderのような雰囲気。これをhomotopy unitに関する情報から記述できるはずなのだが。