雪が半端ないよ

　なんか混沌としてきた。例のfactorizationが大きな鍵になっているのだが、その構成に関してBergnerの手法を真似るならば、enriched categoryのlocarization、もっといえばgroupoid completionが考えられるとうれしい。ただ、これはsimplisial setの場合のみかなりピッタリと来るのだが、ほかではどうも苦しいように思える。

　考えを変えてlocarizationの縛りを払ってみる。enriched categoryに対し、enriched categoryを対応させるfunctorで、two objectとunit objectのmorphismからなる基本的なcategoryに対してはweak contractibe categoryが対応させるようにして、もう少し条件を加えたものと考えればいいのだろうか？
　DG categoryで考えると、それも少し違うような気がするんだよねぇ。

えっ？クリスマス？なにそれ？

　やっちまった。うっかりTexの元ファイルを一つ消去しちまった。PDF化はしてあるから、HPにはアップされてるんだけど、これでは編集ができん。どうしよう。全部打ち直すのは嫌だしなぁ。PDFを貼り付けただけっていうのもなぁ。

君の言いたかったこと、わかった気がするよ

　いや、もしかしたらわかってないのかもしれないけれど。こういう考えはどうだろう。
昨日就寝直前に思いついて、忘れないようにメモって、その整合性を布団の中でずっと考えていて３時間ぐらい眠れなかったんですけどね。
　・→・というtopcatから適当なtwo objectのtopcatへのmorphismのfactorizationを考えていたわけなのだが、どういうのでfactorizationしなければならないのかというと、いまのところわかっているのは全てのfunction complexがweak contractibleで・→・からcofibration in topcat_{x,y}で入ってくるもの。Bergnerによると、
・→・　→　G  →  E　という分解で、Gがweak contractibleにはできるらしい。問題は最初がcofibrationかどうかが定かでないらしい。Bergnerはここで、free categoryを構成する手順とcellを貼り付け具体的にHを構成しているのだが、これはtopcat_{x,y}でのfunctorial factorizationを使ったらどうなのだろう。でもそれをBergnerが考えなかったわけは無いと思うんだけどな。彼女がこだわっているonly countable many cells（simples）というのもどこで使うのかがよくわからないし。

Over Drive

　車を買い換えた。ヴィヴィオの調子がかなり悪く、燃費が良くて気に入っていたのだが手放すことに。新しい車はやはりスバルのプレオ。箱型タイプで室内空間はかなり快適だが、前に比べると燃費の悪さが玉に瑕。室内に本棚でも持ち込んで、移動数学図書館にでもしようか。夏とかに良くやったのですが、自然満ち溢れる山中に車で行って、車内で数学やるのって良いですよね。まぁ、賛同の声は余り無いでしょうが。

　本題にそろそろ戻って考えているのですが、two objectからなる位相空間がenrichしたsmall categoryのfunction complexを考えているのですが、weak contractibleということでfunctorial factorizationでどうにかなると思っているのですがやはりcompositionが問題だ。まず空間の直積のfunctorial factorizationがそれぞれのfactorizationの直積である確証はどこにも無いわけで。その間になにかmorphismが自然に導かれるかというと、homotopy categoryまで落とさないと無理そうなのだけど。

明日はかみ雪になる予報です

　Hirshhornを眺めてるとなんか楽しいね。homotopy colimitのあたりを読んでいた。
定義的にはsimplicial model categoryというか、simplicial set（topological space）とのproductができるようなobjectの状況が望ましいようで。位相空間で言うところのhomotopy push outというのがdouble mapping cylinderに相当している話を思い出しました。ただ、この本ではhomotopy push outは、push out diagramで双方のmorphismにfactorizationを施して、その分解するobjectとmorphismに対しpush outを取ったものとして記載してある。これは同じなのか？まぁ、どっかに書いてありそうではあるけど、すぐにおんなじだという結論にはどうも至れない。この定義で言えば、homotopy pushoutとpull backに関してはどのようなmodel categoryでも定義はできる。