見くびらないでほしいものだね

　Simplicial categoryをobjectにしたcategoryのmodel structureの論文は幸いな事に英語だった。Tabuadaの論文と見比べて、このcofibrantly generated model categoryでenrichされたsmall categoryからなるcategoryにmodel struutureを導入する事に際して、generating (acyclic)cofibrationにあたるものはどうやら、４種類のmorphismからなるようだ。一つは単純にemptyからone objectへのinclusion、それからenrichするmodel categoryのobjectに対し、two objectのenriched categoryでその間のmorphismに対応させ、それ以外のmorphismはidentityを除いて存在しないようなcategoryが考える事ができる。I,Jをenrichするmodel categoryのgenerating (acyclic)cofibrationとすれば、two objectで間のmorphismがそれぞれI,Jのdomein、codominでfunctorをI,Jのmorphismとする。最後の一つが問題で、one objectの自明なcategoryから、two objectでhomotopy categoryをとったsmall categoryにおいてはtwo objectのisomorphismが１つのようなcatgeoryへのinclusionなのだが、これがイメージの中では不鮮明。Tabuadaの論文では具体的構成が載っている。

なんか、すごい長い……

甘く見られたものだな……

DGMのmodel structureを見くびっていた。DGM+smcatはいいと思うのだが、完全独立させるとgenerating cofibrationのliftのところでどうも食い違う。DG functorを立てれば可換が崩れ、可換をとればDGが崩れる仕組み。なんという罠。

本題はどこへやら……

dgcatのmodel structureに関して、DGM+smcatのmodel structureがどうも気になる。一般にmodel categoryでenrichされたsmall category（ここも一般化できるかも）のcatgeoryはこのように二つのmodel structureを両立して構成できるのではなかろうか、という議論に昨日師匠となった。
　その証拠に今日、simplicial categoryのcategoryのmodel structureに関する論文を見つけたのだが、構成はやはりsimplicial set＋smacatであった。しかし、この二つのDGMとsimplicial setのmodel structureには似通った点があって、特にweak equivalenceの指定が何かしらのfunctor、ここでいうホモロジー、ホモトピーをとってisoという形がポイントになるような気がするのだが。そうなると一般化は結構難しいのかもしれない。

そうだ、金沢へ行こう…JR北陸

　金沢でのホモトピーシンポジウムのアブストラクトぐらいほしいんだけど。

　おそるべし。dg category。いまいちdg categoryの有用性がピンときていないのですが、triangulated categoryに落とす際の情報の消失を補うという意味で重要という話は聞いているのですが。まぁ、triangulated categroyであまり不自由さを感じていないのが問題なのでしょうが。
　で、dg categoriesのmodel structureに関しては、DGMとsmall catgeoriesのmodel structureをmixということで深くは追求せずに、dg moduleという考えへ。これはcomplexのdg categoryへのdg functorであり、やはりmorita equivalenceにも関連がある。というか、dg modulesのcategoryはabelian categoryだが、ここからquasi isomorphismで局所化したderived categoryと、普通にcomplexを経由して構成するderived categoryは一致しているのだろうか？

パトラッシュ……なんだか成り立たないような気がしてきたよ

　蒸し返すようでわるいが、Groupoidのmorita equivalenceとcatgeoryとしてのequivalenceの差がわからない。両方向からせめても、片方に行き着かないし、さりとて全く無関係という気もしない。群の場合と同じ議論を行うとしたなら、Morita equivalenceからcategory equivalenceを導くには両側からの作用を常に受けれるような固定の元が必要になるし、category equivalenceからmorita equivalenceを導くにはmorphismを移して戻した際のずれが、natural isomorphismを考慮してもうまくカバーできない。まいった。