classifying space……いや、projective spaceだ！

　両者の違いがいまいちわかりずらかった、というか使いどころがわからなかったのだが、私が好きな分類空間では議論が推し進められなくなってしまった。というのもA-infinity spaceのcategoryを考えたとき、そのmorphismとしては普通はassociahedraを保つようなものを考える。その方が、分類空間の写像を誘導しやすい。ところが、その条件は少し違和感がある。どちらかというとH-mapの一般化というほうが正しいように思える。それがA-inifinityu mapとかmultiplihedraと呼ばれるであるが。だが、A-inifinity mapは分類空間の写像を誘導しない。誘導するのはprojective spaceという直訳すると射影空間だが、よく知っている射影空間とは微妙に違うものである。まぁ、S^0とかS^1から作るとよく知ってる実射影空間とか複素射影空間になるんですけどね。これがよくわかりずらい。

normじゃない……NDR representationだ！

　今日一日で一喜一憂が激しかった。topological group completionのギャップを埋めるため色々考えていたのだが、結論から言うと対象となるtopological monoid自体が、つまりone objectのtopological categoryでいうところのmorphism spaceがnormを持ち、しかも単位元（identity morphism）に関しては0となる状況を考えたかった。始めはobjectがmetrics spaceなら、sorceとterget obejectの距離をmorphismの長さとしてしまえばよいかと思ったが、identity以外にもsorce、tergetが一致するmorphismはたくさんあるので、それを全て長さ0と見るのは乱暴すぎる。この時点でテンションはかなり堕ちた。
　しかし、morphism spaceがnorm空間になっているというのは不自然極まりない。
　そこで、identityのmorphismの部分空間とでNDR pairになっている状況ならどうだろうか。topological monoiodでいえば単位元が非退化ということだが、これは良く出てくる条件だと思う。こうすれば、すべての元に0～1までの長さが対応でき、0となるのは単位元だけだ。これを思いついた際にテンションはかなりあがった。しかし、確かめてもし違ったら、という恐怖が今は強い。
　

古都、京都

　京都へ行きたくなりました。
　なんでこんな突拍子も無い感想を抱いたかというと、京大の先生のセミナーがあったからです。午前、午後と２回にわたるその熱の入れっぷり。だが、驚いたのはその先生というのがまだ若い、であろう女性だった事だ。この分野、女性は希少らしい。
　内容は群の表現とderived equivalenceについて、午前中のMorita theoryと、Rickardによるderived equivalence周辺は私も通ってきた道なので非常にわかりやすかった。こんなに話の流れが読めた講義は初めてだったかもしれない。しかし、午後の具体的な話になるとやばい。恥を忍んで聞こう。PSL(2,8)って何なんだい？もう少し代数をがんばっておけばよかったと公開した一日でした。

A-infinityの時代

　師匠から、すっげぇ長いメールが届いていた。これを書いてくれただけでもありがたいが、内容はもっとありがたい。A-infinity spaceというものがあるらしい。これはA-infinity algebraやA-infinity categoryのtopological versionのようなものであるらしいが、基本的にはH-spaceのようにasociativityもup to homotopyなものでA-infinity conditionを満たすものらしいが、これの分類空間を考えられるらしい。もちろんA-infinity spaceのcategoryで言うところのmorphismというのはmultipicationに関してもup to homotopyなものを考えるので、分類空間を取るfunctorが構成できるならそれは素晴らしい事である。

やはり私は間違っていた………

　だから言ったじゃん。topological categoryに関してfunctorをcompositionとunitに関してhomotopy commutativeにするなんてあれほど危険だと。やはりそんなに甘くは無い。まず分類空間取ったときに写像が誘導されないから困った。これはもう、分類空間の定義自体をいじろうという結論に至った。Segalがcategories and cohomology theoriesの中で通常の分類空間とは少し違った分類空間を考えている。

　問題がどこにあるのかといえば、もちろんsimplicial spaceの間のmorphismを誘導できないところにある。というか、各次元での連続写像が定義できても、degeneracyとfaceとhomotopy commutativeが限界。
ゆえに、幾何学的実現を取る段階で、割る前の空間の間の写像は定義できるのだが、割った後が無理。relationを保たない。しかし、空間を割るというのがcolimit（cofiber）として考えているのだとすれば、relationをup to homotopicで保つのだから、homotopy colimit(cofiber)で考えれば、つまりmapping cylinderを使えばうまくいくのか？